前言

想要理解浮点数为什么叫浮点数, 浮点是什么意思, 先告诉你它有个兄弟叫定点数

定点数

一个32位计算机想要存储小数, 最简单的方法是什么
把32位分成三部分, 一位表示正负, 8位表示整数部分, 23位表示小数部分

由于小数点固定在了第23位和第24位之间, 这种方式可以称为“定点数”
但小数点固定在哪个位置呢
整数部分小了, 表示的数据范围就很小
整数部分大了, 小数的精度又会降低
所以用定点数表示法, 范围和精度相互矛盾, 并不是一种完美的解决方案

浮点数

那么怎么弥补定点数的短板, 就可以用到类似科学计数法, 利用指数, 可以达到小数点浮动的效果
IEEE 754标准中, 浮点数有单精度(32位)和双精度(64位), 以单精度为例

科学计数法表示为

$n = (-1)^s * 1.(mantissa) * 2 ^{exponent}$

那么例如 $5.8$ 就可以转换为 $1.45*2^2$ (原数一直除2, 直到整数部分为1)

注意: 指数也分正负, 此处有一个偏置值
$bias=2^{k-1}-1$ , k为exponent的位数
单精度浮点数bias则为127, 从0到127 表示负数， 从128到255表示正数

那么 $5.8$ 的 $exponent=127+2$
尾数 $0.45$ 转化为二进制就是不断地乘2, 取结果的整数部分, 无限循环的话取够23位为止, 此处会有忽略, 所以浮点数不是精确的数值类型

通过上面的过程, 基本了解了浮点数如何表示一般的小数, 那么浮点数怎么表示0呢

规格化和非规格化

指数部分有三种取值:

• 当exponent的二进制位不全为0或1时, 表达的数字是规格化形式, 即一般的小数
• 当exponent的二进制位都为0时, 此时为非规格化, 用来表示一些非常接近0的小数,包括0
  此时表达式为

$n = (-1)^s * 0.(mantissa) * 2^{1-bias}$

当所有二进制位都为0, 即可表示0.0

• 当exponent的二进制位全为1时, 表示特殊值
  当mantissa全为0时, s为0表示正无穷, s为1表示负无穷
  当mantissa不全为0, 则表示NaN(Not a Number)，不是一个合法实数或无穷，或者该数未经初始化